カテゴリー: 折々の記

　厳しい寒さの冬は終わり、暖かな日差しの日が多くなりました。
　春は、もうそこまで来ています。
　山王公園でもピンクや赤の椿の花が咲いています。

　数学の三つ目の難しい問題は、大問５の(3)です（下図参照）。
　問題を文字式で表現し、それを解くことを求めている。
　ｍ段目の最小の数がＢ列にあるとき、調べてみるとその数は13、29、45、61、…と続くので、13＋16（ｋ－１）と表される（１≦ｋ≦４）。
　ｎ段目に２番目に大きい数がＢ列にあるとき、調べてみるとその数は、７、23、39、55、…と続くので、７＋16（ｈ－１）と表される（１≦ｈ≦５）。
　２数の和を計算すると、16（ｋ＋ｈ）－12となる。
　これを変形すると、４×４（ｋ＋ｈ）－12。
　つまり（ｋ＋ｈ）が３の倍数であればこの数全体は12の倍数となる。
　（ｋ＋ｈ）は、２以上、９以下の範囲の数である。
　（ｋ＋ｈ）が３、６、９のいずれかになる組み合わせを調べる。
　ｋ＝１のとき、ｈ＝２、５
　ｋ＝２のとき、ｈ＝１、４
　ｋ＝３のとき、ｈ＝３
　ｋ＝４のとき、ｈ＝２、５
　以上を数えることにより、ｍ、ｎの組み合わせの数は７とおりになることが分かる。
　短い時間の中で以上の調べを行うのは、中々難しいと思われる。

　数学の二つ目の難しい問題は、大問４の(2)。
　(1)で△ＡＣＤと△ＯＢＤが相似であることを証明し、それを使って線分ＢＤの長さを求める。
　相似の関係であるからＡＣ：ＣＤ＝ＯＢ：ＢＤであり、ＡＣ、ＣＤ、ＯＢの長さが分かれば求めるＢＤの長さが分かる。
　まず、ＡＣであるが、△ＡＣＢが∠ＡＣＢを直角とする直角三角形であるから、三平方の定理を使って計算することができる（ＡＢ＝４、ＣＢ＝３となっている）。
　次に、ＣＤであるが、これをどのようにして計算するかがこの問題を解く鍵となる。
　ＣＤを求めるには、直線ＤＯを伸ばし、ＡＣとの交点をＦとすると、△ＣＤＦは、∠ＣＦＤを直角とする直角三角形である。
　その辺ＦＣの長さはＡＣの二分の１である。辺ＤＦの長さは、どのようにもとめるか。ＤＦは、ＤＯ（半径＝２）とＯＦの合計である。ＯＦは、△ＡＣＢと△ＡＦＯが相似であり、相似比が２：１であることから、ＣＢ（＝３）の２分の１の長さとなる。辺ＦＣと辺ＤＦの長さが分かったので、三平方の定理によりＣＤの長さを求めることができる。
　ＯＢは、半径であり、長さは２である。
　後は冒頭に説明したとおり、相似比を基に方程式をつくり、ＢＤを求めることができる。
　相似比と三平方の定理を適切に使うことができるかどうかがこの問題の難しさである。

　2021年度千葉県公立高校入試問題をチェックしています。
　まず、数学の問題を一通り解いてみたところ、難問が三つあると思いました。
　一つ目が大問３の(2)②（下の図参照）、二つ目が大問４の(2)、三つ目が大問５の(3)。
　ここでは、一つ目の問題を取り上げます。

　二次関数のグラフと直線がつくる図形の面積を求める問題です。
　グラフがつくる図形の面積を求める問題は毎年出題されているようです。
　図形の面積を求めるための定番の解法は、求める平行四辺形の底辺や高さを直接求めるのはやっかいなので、この問題で言えば、平行四辺形を含む大きな三角形の面積を計算し、そこから小さな三角形や台形を切り取りながら（面積を計算しながら）、求める平行四辺形の面積を計算します。
　考え方はシンプルで、点Ｄの座標を例えば（ｐ，ｑ）と置いて方程式をつくればよいのですが、この問題については、方程式を解くプロセスでの計算量がなかなか多く、正確に計算して答えを出すのが大変だと思います。
　計算に結構な時間がかかります。その意味で難問です。
　ちなみに答えは、-3/2と-11/2です。

　朝の散歩で、山王公園でモッコクが赤い実をつけていることに気がつきました。
　寒い季節は、赤い色が一層映えるように思います。

　山王ニュータウンのあちらこちらに野ユリの花が見られるようになりました。
　散歩をしていると、白く、細長い形状の野ユリが小学校の植え込み、電柱が立っているわずかなスペースなどにおいて、ここ１週間ほどで急に目立つようになりました。
　
　これほど一斉に咲くのは、同じ系統、ひょっとしたら、どれも同じ親から生まれたものかもしれません。
　野ユリの生命力も相当に強いと思います。

　100万までの数について、10万ごとに区切って素数の数を調べるプログラムをまずC言語で作成。次に、そのプログラムをC++言語に移植した。
　C言語からC++言語への移植に当たって、コードを書き直す必要はあまりなかった。書き直したのは、画面への入出力の箇所ぐらい。C++言語で新たに設けられたクラスを使う必要がないプログラムであったため、C言語のコードのままでｃ＋＋言語でも通用した。
　プログラムの処理時間は、C言語版が14.971342秒、ｃ＋＋言語版が14.9419秒とほぼ同じ。ｃ言語で書いたプログラムの方が処理速度は速いと思っていたので、これは少し意外であった。
　今後プログラムを作成するときに、少しでも処理速度が速い言語を選択しようと考えていたため、Ｃ言語がよいと思っていたが、考えさせられてしまった。

　素数を調べるプログラムを改良し、素数がどのように分布しているのかを調べるプログラムを作成した。
　1,000万以下の数について、１０万ごとの区切り単位で、素数が何個含まれるかを調べた。
　以下は、その結果の一部である。

　（区切りの範囲）　（範囲に含まれる素数の数）
　1 　　- 100,000 : 9,592
　100,001 – 200,000 : 8,392
　200,001 – 300,000 : 8,013
　300,001 – 400,000 : 7,863
　400,001 – 500,000 : 7,678
　500,001 – 600,000 : 7,560
　600,001 – 700,000 : 7,445
　700,001 – 800,000 : 7,408
　800,001 – 900,000 : 7,323
　900,001 – 1,000,000 : 7,224
　1,000,001 – 1,100,000 : 7,216
　1,100,001 – 1,200,000 : 7,224
　（以下略）

　最初の１０万の範囲には、9,592個の素数が現れた。
　その後10万ずつの区切りで見ると徐々に減っていく。
　しかし、減り続けるわけではなく、110万〜120万の区切りでは増えている。
　減り方もまちまちで、素数の現れ方に一定の法則性があるわけでないようだ。
　調べる区切りの数が大きな数字になるにつれ、その中に含まれる素数の数が減っていく傾向は見受けられる。
　ちなみに、990万〜1,000万の区間では6,134個となっている。
　素数については、分からないことが多い。

　朝の散歩でウグイスの声を耳にした。
　ウグイスは、ここ山王ニュータウンでは４月の初め頃から聞かれるようになる。
　ウグイスは、春先から少しずつ鳴くのが上手になるという。
　手持ちのＩＣレコーダーで録音した。
　鳴き声はどうだろうか。心なしか滑らかな鳴き声となっているような気がする。

　現役時代、事務処理機械化準備室に配置され、見様見真似でＣＯＢＯＬ言語に触れた経験があった。その頃から、コンピュータ言語に関心を持ち始めた。
　最近、ようやく少し余裕ができたので、素数を計算するプログラムにチャレンジすることとした。
　最初に選んだ言語はＣ言語。参考書、ネットで分からない点を調べながら、なんとか組み上げた。
　素数は、１と自分自身でしか割り切れない数。
　２から始まり、３、５、７、…と現れるが、プログラムでちょうど10万個目にどのような数字が現れるかを計算した。
　答えは、1,299,709、計算時間は29秒。
　これを人力でやろうとすると一生かかってもできないかもしれない。
　コンピュータの計算力を思い知らされた。